ПОЧЕМУ ЭТИ ПРИЕМЫ РАБОТАЮТ

Этот раздел предназначен для учителей, студентов, любителей математики и всех, кому любопытно, почему этот метод работает. Некоторые найдут теоретическую сторону вопроса не менее интересной, чем практическая. К счастью, вам не нужно разбираться в том, почему метод работает, для того чтобы научиться его применять. Всем магическим трюкам есть рациональное объяснение. И математические не исключение. И вот прямо сейчас маг от математики раскроет свои самые сокровенные тайны!

В этой главе, посвященной задачам на умножение, мы применили дистрибутивный (распределительный) закон, который позволял нам разбивать задачи на части. Данный закон гласит, что для любых чисел a, b и c

(b + с) х а = (b х а) + (с х а)

То есть число за скобками распределяется и по отдельности умножается на каждое из чисел в скобках. Например, в первой задаче на умножение 42 х 7 мы добрались до итогового ответа с помощью представления 42 в виде 40 + 2, а затем помножили на 7 каждое из них следующим образом:

42 х 7 = (40 + 2) х 7 = (40 х 7) + (2 х 7) = 280 + 14 = 294

Вы можете спросить, почему распределительный закон в принципе работает. Чтобы понять его интуитивно, представьте, что у вас есть 7 сумок, в каждой по 42 монеты, 40 из которых золотые, а 2 серебряные. Сколько всего у вас монет? Существует два способа получить ответ. С одной стороны, исходя из определения умножения, скажем, что у вас есть 42 х 7 монет. С другой — всего 40 х 7 золотых и 2 х 7 серебряных монет.

Следовательно, всего имеем (40 х 7) + (2 х 7) монет. Отвечая на наш вопрос двумя способами, получим 42 х 7 = (40 х 7) + (2 х 7). Обратите внимание, что числа 7, 40 и 2 можно заменить любыми другими (a, b или c), сохранив общий логический принцип. Вот почему распределительный метод работает!

Используя подобную аргументацию о золотых, серебряных и медных монетах, получим более общий закон.

(b + с + d) х а = (b х а) + (с х а) + (d х а)

Следовательно, чтобы умножить 326 х 7, разбиваем 326 как 300 + 20 + 6. Потом умножаем на 7 следующим образом: 326 х 7 = (300 + 20 + 6) х 7 = (300 х 7) + (20 х 7) + (6 х 7), а затем складываем отдельные произведения.

Что касается возведения в квадрат, представленный ниже алгебраический закон оправдывает мой метод. (A и d — любые числа.)

Магия чисел действительно захватывает, когда выступаешь перед аудиторией. Мой первый опыт публичных выступлений пришелся на восьмой класс, в уже довольно «преклонном возрасте» тринадцати лет. Многие матемаги начинали еще раньше. Например, Зера Колберн (1804–1839) мог производить молниеносные расчеты еще до того, как научился читать и писать, и начал развлекать зрителей в возрасте шести лет! Когда мне было тринадцать, моя учительница алгебры записала на доске задачу, где следовало вычислить 108². Я быстро выпалил: «108 в квадрате будет 11 664!»

Учительница сделала расчет на доске и получила такой же ответ. Глядя немного испуганно, она произнесла: «Да, верно. Как ты это сделал?» Тут я ей и выложил: «Я округлил 108 до 100 и увеличил 108 до 116. После перемножил 116 на 100, получил 11 600, а потом просто прибавил квадрат 8, в итоге получилось 11 664».

Она никогда раньше не сталкивалась с таким методом.

Я был взволнован. Даже успел самонадеянно подумать о «теореме Бенджамина». Я на самом деле верил в то, что открыл нечто новое. Когда я в конце концов наткнулся на этот метод спустя несколько лет в книге Мартина Гарднера по занимательной математике Mathematical Carnival («Математический карнавал», 1965), мой день был испорчен! Хотя то, что я сам нашел его, все же воодушевляло.

Вы тоже можете произвести впечатление на друзей (или учителей), используя некоторые из довольно удивительных примеров на умножение. В конце предыдущей главы вы узнали, как умножить двузначное число само на себя. В этой главе вы научитесь перемножать два разных двузначных числа, а затем попробуете приложить руку (вернее, мозг) к возведению трехзначных чисел в квадрат. При этом для решения таких задач не обязательно знать, как умножить два двузначных числа. Так что можете начать осваивать любой из этих навыков в любом порядке.

При возведении в квадрат двузначного числа всегда применяется одинаковый метод. Но перемножать двузначные числа можно разными способами, которые в итоге приведут вас к одному и тому же ответу. Лично для меня здесь и начинается самое интересное.

Первый метод, назовем его «метод сложения», можно применять для решения любых задач на умножение типа «2 на 2».

Метод сложения

В методе сложения при перемножении двух двузначных чисел надо всего лишь решить две задачи на умножение типа «2 на 1» и суммировать результаты, например:

Итак, 42 разбиваем на 40 и 2, после чего умножаем 40 х 46 (а это всего лишь 4 х 46 с добавочным нулем, то есть 1840); затем 2 х 46 = 92. Наконец складываем 1840 + 92 = 1932, как и показано выше.

Вот еще один способ решения той же задачи:

Но здесь есть небольшая проблема, которая заключается в том, что умножить 6 х 42 сложнее, чем 2 х 46, как в первом способе. Более того, прибавить 1680 + 252 сложнее, чем суммировать 1840 + 92. Так как же решить, какое из чисел разбивать на части? Я стараюсь выбирать то, которое приведет к более простой задаче на сложение. В большинстве случаев, но не всегда, желательно разбивать число с наименьшей цифрой в конце, потому что это обычно приводит к меньшим числам при сложении.

Попробуйте свои силы на следующих примерах.

В последнем примере показано, почему числа с 1 в конце лучше всего представлять в виде суммы. В случае если оба числа оканчиваются на одинаковую цифру, следует делить на части большее число, как показано ниже.

Если одно из чисел намного больше другого, то его разбиение часто оправдывает себя, даже если цифра на конце больше цифры на конце меньшего числа. Вы поймете, что я имею в виду, когда решите следующие задачи двумя разными способами.

Показался ли вам первый способ быстрее второго? Мне — да.

Вот еще одно исключение из правила: разбивайте на части число с наименьшей цифрой на конце. При умножении числа, близкого и большего 50, на четное, следует разбить на части именно число, близкое к 50.

Последняя цифра числа 84 меньше, чем цифра на конце числа 59. Но если разбить на части 59, то результат первого умножения будет кратным 100, что упрощает последующую задачу на сложение.

Теперь попробуйте решить легкую задачу другого типа.

Хотя вычисления, представленные выше, достаточно просты, существует еще более простой и быстрый способ умножения числа на 11. Это магия чисел во всей красе: вы не поверите своим глазам, когда увидите! (Если, конечно, вы еще не забыли, что читали в главе 0.)